4.4 KB · ⇊ 2 parts · ⤓ Micron 4.4 KB · ⤓ HTML 23.1 KB

top

In der Mathematik ist ein maximaler Torus einer kompakten Lie-Gruppe G {\displaystyle G} eine maximale kompakte, zusammenhängende, abelsche Untergruppe T {\displaystyle T} .

Er ist ein r {\displaystyle r} -Torus, seine Dimension r {\displaystyle r} ist per Definition der Rang der kompakten Lie-Gruppe G {\displaystyle G} .

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G} zu einem Element aus T {\displaystyle T} konjugiert ist.

• Beispiele

• Eigenschaften

• Literatur

• Weblinks

Für G = U ( n ) {\displaystyle G=U(n)} ist die Untergruppe der Diagonalmatrizen T = { diag ⁡ ⁡ ( e i θ θ 1 , … … , e i θ θ n ) : θ θ 1 , … … , θ θ n ∈ ∈ R } {\displaystyle T=\left\{\operatorname {diag} (e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}):\theta _{1},\ldots ,\theta _{n}\in \mathbb {R} \right\}} ein maximaler Torus.

Für G = S O ( 2 n ) {\displaystyle G=SO(2n)} ist die Untergruppe aller Blockdiagonalmatrizen mit 2×2-Blöcken aus S O ( 2 ) {\displaystyle SO(2)} ein maximaler Torus.

Der Satz vom maximalen Torus besagt, dass jedes Element g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G} zu einem Element aus T {\displaystyle T} konjugiert ist.

Aus diesem Satz ergeben sich zahlreiche Folgerungen:

• Alle maximalen Tori sind konjugiert zueinander.

• Alle maximalen Tori haben dieselbe Dimension, den Rang von G {\displaystyle G} .

• Ein maximaler Torus ist eine maximale abelsche Untergruppe.

• Die maximalen Tori sind die Bilder maximaler abelscher Unteralgebren unter der Exponentialabbildung exp : : g → → G {\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\to G} .

• Jedes Element g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G} liegt in einem maximalen Torus.

• Die Differenz aus der Dimension und dem Rang von G {\displaystyle G} ist eine gerade Zahl.

• T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98 (2nd ed.), Springer, 1995, ISBN 3540136789

• J. F.Adams: Lectures on Lie Groups, University of Chicago Press, 1969, ISBN 0226005305

• N. Bourbaki: Groupes et Algèbres de Lie (Chapitre 9), Éléments de Mathématique, Masson, 1982, ISBN 354034392X

• J. Dieudonné: Treatise on analysis 5 (Chapter XXI), Academic Press, 1977, ISBN 012215505X

• J. Duistermaat, A. Kolk: Lie groups, Universitext, Springer, 2002, ISBN 3540152938

• B. Hall, Brian: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, 2015, ISBN 978-3319134666

• S. Helgason: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Academic Press, 1977, ISBN 0821828487

• Maximal Torus (Encyclopedia of Mathematics)

• Maximal Torus (nLab)

• Maximal Tori Theorem (MathWorld)